EEN WISKUNDIG MODEL VOOR GRADINGS




1 - Een rechte lijn

Op de eerste pagina van dit project werd de vraag opgeworpen of de neergang van de mastersprestaties lineair verloopt of niet. Bij de grafieken met alle mastersrecords blijkt dat een rechte lijn vaak een goede benadering vormt van de neergang gedurende een flink deel van het leven. Een rechte lijn is de eenvoudigste grafiek die er bestaat, dus die is genomen als eerste model voor de prestatiedaling en daarmee ook als eerste benadering voor age gradings.
Op zich is het merkwaardig als de daling echt rechtlijnig zou zijn, er zijn namelijk heel wat biologische processen die met het ouder worden anders gaan werken. Het zou erg toevallig zijn als dat samen een rechte lijn in de prestatiegrafieken zou geven, maar zolang niet duidelijk is welke ingewikkelder kromme lijn nodig is, is het simpelst mogelijke model de beste keuze.
Een echt model wordt hier niet ontwikkeld, want dat zou op de eigenschappen van biologische processen gebaseerd moeten zijn. Wat ik hier ga doen is echter ook niet compleet datagestuurd, zoals bij de bestaande gradings. De data sturen mijn model wel, maar wiskundige eenvoud speelt een belangrijke rol.

Als testcase wordt het hinkstapspringen van de mannen genomen, hier zit duidelijk rechtlijnigheid in:

[grafiek]


Op de horizontale as staat de leeftijd in jaren, op de verticale as staat een percentage. De blauwe lijn verbindt alle wereldrecords bij de masters. De paarse lijn is een lijn door twee van die records zodanig dat alle andere records onder die lijn liggen (raaklijn = tangent). De groene lijn geeft 100 procent in de bestaande age gradings van systeem 2010.
Het algemene idee is helder: ergens tussen je 20e en 30 zit je op je top, ergens na je 30e gaan de prestaties achteruit en op hoge leeftijd gaan de prestaties versneld achteruit, hier bij ongeveer 85 jaar. Dit laatste kan een reëel effect zijn, het kan echter ook dat er nog te weinig zeer oude atleten zijn en dat de records voor de hoogste leeftijdsklassen vrij zwak staan. Of beide.

Onderstaande grafiek lijkt sprekend op bovenstaande, maar de raaklijn is veranderd in een eerste model, een oranje rechte lijn. Ook is de zwarte lijn toegevoegd (base line) die op de vorige bladzij geïntroduceerd is om kleine verschillen iets vergroot zichtbaar te maken.

[grafiek]


De grafiek met vergrote verschillen staat hieronder, met daarin wederom het oranje model toegevoegd. Het model gaat door twee records (M35 en M85) en drie andere records liggen vrijwel op de modellijn (M55, M65 en M75).

[grafiek]


Voor wie van formules houdt: deze rechte lijn wordt bepaald door twee parameters, D en P, terwijl op de achtergond nog een derde parameter een rol speelt, N.
D = leeftijd waarop de daling van de prestaties inzet, hier 33.35 jaar
P = percentage waarmee jaarlijks de prestatie daalt, hier 1.07 %
N = de normprestatie die als 100 % telt, hier het OC-wereldrecord van 18.29 meter
De formule voor de oranje lijn is nu: y = -Px + 100 + DP
(waarin x simpel de leeftijd is)

2 - Versnelling

Bij nogal wat disciplines tonen de grafieken versnelde veroudering, ieder jaar zullen de prestaties dan iets meer achteruitgaan. Een kromme lijn geeft dit weer en ik heb gekozen voor een simpele kromme lijn, gebaseerd op de reeks 0, 1, 3, 6, 10, 15, waarin het verschil tussen twee opeenvolgende termen telkens 1 groter wordt. Om dit in het model op te nemen zijn slechts twee parameters nodig:
A = de leeftijd waarop de versnelling begint, hier is bij 86 jaar gestart
F = een factor die bepaalt hoe sterk de versnelling is, een willekeurig getal, hier op 0.24 gezet

[grafiek]


[grafiek]


3 - Geen rechte lijn

De rechte lijn blijkt vaak heel aardig te kloppen, maar niet altijd. In het model is de mogelijkheid ingebouwd om de lijn bol of hol te maken. Er bestaat een oneindig aantal krommen, maar hier is weinig kromming nodig, nog het meest bij de werponderdelen van de vrouwen. Ik heb een eenvoudige vorm van kromming ingebouwd, afgeleid van een hyperbool (een hyperbool zou je kunnen zien als een kromme overgang tussen twee rechte lijnen). Er zijn twee parameters nodig:
C = mate van bolheid/holheid, ongeveer het aantal procenten dat de grafiek in het midden omhoog of omlaag geduwd wordt.
W = een vormfactor, want je kunt een hyperbool scherper of flauwer door de bocht laten gaan. Voor de age gradings is dit feitelijk niet van belang, W wordt daarom constant gehouden.

4 - Offset

Bij de in zwang zijnde gradings (systeem 2010) is het de bedoeling dat de huidige wereldrecords nooit 100% scoren, vanuit het idee dat ze nog wel zullen verbeteren. Dit is in mijn model ook ingebouwd, waarbij deze offset een constante is die voor alle onderdelen hetzelfde is. Het effect is dat de oranje lijn een stukje naar rechts schuift.

5 - Tilt

Het is goed mogelijk dat de records bij jonge en oude atleten niet vergelijkbaar zijn qua sterkte. In Nederland zijn we met een proef bezig om in de masterscompetitie overal age grading toe te passen. Zijn de gradings goed dan zullen in de uitslagen jonge en oude masters gelijkelijk gewaardeerd worden. Er zijn nog te weinig gegevens voor conclusies, al is een eerste indruk dat het voor dit soort wedstrijden (club tegen club) aardig werkt.
Er is echter ook wat rumoer dat oude ateten overgewaardeerd worden. De huidige cijfers sluiten niet uit dat er een lichte overwaardering zou kunnen zijn. Om dat te onderzoeken zijn meer gegevens nodig en het zou helemaal fijn zijn als er longutudinale tijdreeksen (zie blad 1) gevonden kunnen worden. Bij dezelfde atleet moeten resultaten na grading ongeveer gelijk zijn.
Om een voorschot op een dergelijke aanpassing te nemen kan de rechte lijn die als basis van het model dient een beetje gekanteld worden. D blijft hetzelfde, maar naar de hogere leeftijden gaat de lijn omhoog. Dit is ingebouwd in het model. Parameter T geeft aan hoe sterk de kanteling (tilt) is.

6 - Start

In de laatste twee grafieken zie je een knik bij de leeftijd waarop de prestaties niet meer 100% zijn, bij ruim 33 jaar in dit geval. Het is onwaarschijnlijk dat je de ene week nog op OC-niveau zit en de volgende week met dalende prestaties te maken krijgt, waarschijnlijker is dat er een periode van meerdere jaren is waarin de fysieke mogelijkheden licht dalen om daarna pas op standaard masterswijze te gaan dalen. Echter wordt de lichte daling gecompenseerd door grotere ervaring: de technische vaardigheid neemt toe en ook weet je steeds beter hoe te trainen. Dit maakt dat je vrij lang op OC-niveau kunt acteren, waarna vrij plotseling de daling toch de overhand krijgt. In het model kan de knik weggewerkt worden door een vloeiende overgang te maken. Het effect is echter klein en ik heb het niet in het model opgenomen.

7 - Afhankelijkheid van de Open Class

Via de parameter N zit alles aan de Open Class vast. De meest gewantrouwde OC-records zijn niet gebruikt in mijn modellen, maar het is onbekend of toch nog een andere prestatie als OC-record zou moeten worden genomen. Onderstaande grafieken laten het effect daarvan zien, N is veranderd van 18.29 naar 17.29 waardoor de blauwe recordlijn omhoog schuift. Bij de jongere klassen heeft deze ingreep sterker dan bij de oudere klassen:

[grafiek]


[grafiek]


Nu is het tijd om het model toe te passen en te testen.


Zie ook:
Achtergronden van age gradings
Overzicht wereldrecords masters
Drie systemen age grading vergeleken
Verschillen tussen de onderdelen
Toepassing van het model


Weia Reinboud (weiatletiek (apenstaartje) xmsnet (punt) nl)

Zie ook mijn atletiekpagina, als die nog niet open is.